Valeurs absolues en classe de seconde

Définition

En mathématiques, la valeur absolue d'un nombre réel est sa distance à zéro sur la droite des nombres réels. Elle est notée |x|. Pour tout nombre réel x, |x| = x si x est positif ou nul, et |x| = -x si x est négatif.

Par exemple, |3| = 3 et |-3| = 3.

Propriétés

Les valeurs absolues ont plusieurs propriétés importantes, notamment :

• |x| ≥ 0 pour tout nombre réel x.
• |x| = 0 si et seulement si x = 0.
• |xy| = |x| |y| pour tous nombres réels x et y.
• |x/y| = |x| / |y| pour tous nombres réels x et y, où y ≠ 0.
• |x + y| ≤ |x| + |y| pour tous nombres réels x et y (inégalité triangulaire).

Applications

Les valeurs absolues ont de nombreuses applications en mathématiques, notamment :

• Résoudre des équations et des inéquations.
• Calculer des distances et des aires.
• Modéliser des phénomènes physiques.

Exemples

Voici quelques exemples d'applications des valeurs absolues :

• Résoudre l'équation |x| = 3. Les solutions sont x = 3 et x = -3.
• Calculer la distance entre les points (2, 3) et (5, 7). La distance est |(5 - 2)| + |(7 - 3)| = 3 + 4 = 7.
• Modéliser la vitesse d'un objet en mouvement. La vitesse est une valeur absolue, car elle peut être positive (lorsque l'objet se déplace vers l'avant) ou négative (lorsque l'objet se déplace vers l'arrière).

Conclusion

Les valeurs absolues sont un outil mathématique puissant qui a de nombreuses applications. En comprenant la définition et les propriétés des valeurs absolues, vous pouvez les utiliser pour résoudre des problèmes et modéliser des phénomènes dans le monde réel.